16558. Для любого треугольника \triangle
обозначим через \nu(\triangle)
сумму квадратов трёх его сторон.
а) Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
. Докажите, что если
\nu(\triangle PAB)=\nu(\triangle PBC)=\nu(\triangle PCD)=\nu(\triangle PDA),\eqno(1)
то ABCD
— ромб.
б) Найдите все четырёхугольники ABCD
, для которых существует такая точка P
(не обязательно точка пересечения диагоналей), для которой верны равенства (1).
Ответ. Все четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями.
Решение. Пусть для некоторого четырёхугольника ABCD
существует точка P
, для которой верны равенства (1). Поскольку \nu(\triangle PAB)=\nu(\triangle PDA)
, то
PA^{2}+AB^{2}+PB^{2}=PA^{2}+AD^{2}+PD^{2},~\mbox{или}~PB^{2}-PD^{2}=AD^{2}-AB^{2}.
Аналогично,
PB^{2}-PD^{2}=CD^{2}-BC^{2},
поэтому
AD^{2}-AB^{2}=CD^{2}-BC^{2},~\mbox{или}~AD^{2}+BC^{2}=AB^{2}+CD^{2}.
Следовательно (см. задачу 1344), диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
перпендикулярны.
а) Пусть P
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
, для которого верны равенства (1). Тогда, как уже доказано ранее,
PB^{2}-PD^{2}=AD^{2}-AB^{2}.
По теореме Пифагора
PB^{2}-PD^{2}=AD^{2}-AB^{2}=(AP^{2}+PD^{2})-(AP^{2}+PB^{2})=PD^{2}-PB^{2},
откуда PB=PD
. Аналогично, PA=PC
. Таким образом, диагонали четырёхугольника ABCD
перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, это ромб.
б) Пусть для некоторого четырёхугольника ABCD
существует точка P
, для которой верны равенства (1). Уже доказано, что диагонали AC
и BD
перпендикулярны. Докажем достаточность этого условия.
Пусть AC\perp BD
, а O
— точка пересечения AC
и BD
. Без ограничения общности будем считать, что AO\leqslant OC
и DO\leqslant OB
. На лучах CA
и BD
отложим отрезки CO_{1}=AO
и BO_{2}=DO
. Тогда AO_{1}=CO
и DO_{2}=BO
. Пусть P
— вершина прямоугольника OO_{2}PO_{1}
. Докажем, что точка P
удовлетворяет условию (1).
Действительно, по теореме Пифагора
DP^{2}-BP^{2}=DO_{2}^{2}-BO_{2}^{2}=BO^{2}-DO^{2}=
=(BO^{2}+OC^{2})-(DO^{2}+OC^{2})=BC^{2}-CD^{2}.
Значит,
\nu(\triangle PCD)=DP^{2}+CD^{2}+PC^{2}=PB^{2}+BC^{2}+PC^{2}=\nu(\triangle PBC).
Аналогично получим, что
\nu(\triangle PDA)=\nu(\triangle PCD)~\mbox{и}~\nu(\triangle PAB)=\nu(\triangle PDA).
Отсюда следует, что искомые четырёхугольники — это все четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2015, том 88, № 3, задача 1944, с. 240