1656. Три отрезка с концами на сторонах треугольника, параллельные его сторонам, проходят через одну точку и имеют одинаковую длину x
(см.рис.). Найдите x
, если стороны треугольника равны a
, b
, c
.
Ответ. \frac{2abc}{ab+ac+bc}
.
Указание. Рассмотрите подобные треугольники.
Решение. Обозначим вершины всех треугольников, как показано на рисунке. По условию задачи ML=EN=KF=x
. Пусть AB=c
, AC=b
, BC=a
. Поскольку
LK=AB-BL-AK=AB-EP-NP=AB-EN=c-x,
то коэффициент подобия треугольников LPK
и BCA
равен \frac{c-x}{c}
. Аналогично находим, что коэффициент подобия треугольников EFP
и BCA
равен \frac{a-x}{a}
. Поэтому
AN=PK=AC\cdot\frac{c-x}{c}=\frac{b(c-x)}{c},
CM=PF=AC\cdot\frac{a-x}{a}=\frac{b(a-x)}{a}.
Следовательно,
b=AC=CM+MN+NA=\frac{b(a-x)}{a}+b-x+\frac{b(c-x)}{c}.
Из полученного уравнения находим, что x=\frac{2abc}{ab+ac+bc}
.
Автор: Ягубьянц А. А.
Источник: Журнал «Квант». — 1976, № 11, с. 32, М411; 2009, № 3, с. 55, задача 4
Источник: Задачник «Кванта». — М411
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2008, XVII, устный командный тур, задача 4