16561. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
, причём OB\gt OD
и OC\gt OA
, а также S_{\triangle OAB}+S_{\triangle OCD}=S_{\triangle OBC}
. Точки M
и N
— середины диагоналей AC
и BD
соответственно. Докажите, что прямые AN
и DM
пересекаются на стороне BC
.
Решение. Поскольку OC\gt OA
, точка M
лежат внутри треугольника BDC
, а так как OB\gt OD
, то точка N
лежит внутри треугольника BAC
. Значит, прямые AN
и DM
пересекают сторону BC
в её внутренних точках. Обозначим их E
и E'
соответственно. Докажем, что E
и E'
совпадают.
По теореме Менелая для треугольника OBC
и прямых ANE
и DME'
получаем
\frac{BN}{NO}\cdot\frac{OA}{AC}\cdot\frac{CE}{BE}=1~\mbox{и}~\frac{CM}{MO}\cdot\frac{OD}{DB}\cdot\frac{BE'}{E'C}=1.\eqno(1)
Отношение площадей треугольников OAB
и OBC
с общей высотой, проведённой из вершины B
, равно отношению их оснований, т. е. \frac{S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle OBC}}=\frac{OA}{OC}
. Аналогично, \frac{S_{\triangle OCD}}{S_{\triangle OBC}}=\frac{OD}{OB}
. Из условия
S_{\triangle OAB}+S_{\triangle OCD}=S_{\triangle OBC}
следует, что
\frac{OA}{OC}+\frac{OD}{OB}=\frac{S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle OBC}}+\frac{S_{\triangle OCD}}{S_{\triangle OBC}}=\frac{S_{\triangle OAB}+S_{\triangle OCD}}{S_{\triangle OBC}}=\frac{S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle OAB}}=1,
откуда
OA\cdot OB+OC\cdot OD=OB\cdot OC.\eqno(2)
Поскольку M
— середина AC
, то
OC-OA=(CM+OM)-(AM-OM)=2OM+(CM-AM)=2OM.
Тогда из (2) получаем
OC\cdot OD=OB\cdot OC-OA\cdot OB=(OC-OA)OB=2OM\cdot OB.
Аналогично,
OA\cdot OB=2ON\cdot OC.
Значит,
\frac{OA}{ON}=2\cdot\frac{OC}{OB}=2\cdot2\frac{OM}{OD}=4\cdot\frac{OM}{OD}.\eqno(3)
Тогда, учитывая, что AC=2CM
и BN=\frac{1}{2}DN
, из (3) и (1) получаем
\frac{EB}{CE}=\frac{BN}{AC}\cdot\frac{OA}{ON}=\frac{\frac{1}{2}DB}{2CM}\cdot\frac{OA}{ON}=\frac{\frac{1}{4}DB}{CM}\cdot4\cdot\frac{OM}{OD}=\frac{DB}{CM}\cdot\frac{OM}{OD}=\frac{E'B}{CE'}.
Следовательно, точки E
и E'
совпадают.
Отсюда вытекает утверждение задачи.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2017, том 90, № 1, задача 1982, с. 77