16569. Докажите, что расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей треугольника есть среднее геометрическое диаметра описанной окружности и расстояния между центрами этой вневписанной окружности и окружности девяти точек.
Решение. Пусть r_{1}
и R
— радиусы вневписанной и описанной окружностей треугольника, I_{1}
и O
— соответственно центры этих окружностей, E
— центр окружности девяти точек треугольника. Требуется доказать, что I_{1}O^{2}=2R\cdot I-{1}E
.
По формуле I_{1}O^{2}=R^{2}+2r_{1}R
(см. задачу 488). Из теоремы Фейербаха (см. задачу 6117) следует, что I_{1}E=\frac{1}{2}R+r_{1}
(вневписанная окружность треугольника внешним образом касается окружности девяти точек этого треугольника). Значит,
IO^{2}=R^{2}+2r_{1}R=2R\left(\frac{1}{2}R+r_{1}\right)=2R\cdot I_{1}E.
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 4.19, с. 43