16571. На описанной окружности треугольника ABC
отметили середины дуг BAC
и CBA
— точки M
и N
соответственно, и середины дуг BC
и AC
— точки P
и Q
соответственно. Окружность \omega_{1}
касается стороны BC
в точке A_{1}
и продолжений сторон AC
и AB
. Окружность \omega_{2}
касается стороны AC
в точке B_{1}
и продолжений сторон BA
и BC
. Оказалось, что точка A_{1}
лежит на отрезке NP
. Докажите, что точка B_{1}
лежит на отрезке MQ
.
Решение. Временно забудем о том, что, что точка A_{1}
лежит на отрезке NP
. Пусть I_{A}
— центр \omega_{1}
. Обозначим через X
точку пересечения прямых BC
и PN
.
Точка I_{A}
лежит на биссектрисе внешнего угла B
треугольника ABC
(обозначим его \beta
), поэтому
\angle CBI_{A}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},
а так как точка I_{A}
лежит на биссектрисе угла A
, то точки A
, P
и I_{A}
лежат на одной прямой. Тогда
\angle APN=\frac{1}{2}\smile AN=\frac{1}{4}\smile ABC=\frac{1}{4}(360^{\circ}-\smile AC)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
Таким образом, \angle CBI_{A}=\angle APN
, поэтому четырёхугольник I_{A}PXB
вписанный.
Вернёмся к решению задачи. Точки X
и A_{1}
совпадают тогда и только тогда, когда
\angle BXI_{A}=\angle BA_{1}I_{A}=90^{\circ},
что равносильно тому, что \angle BPI_{A}=90^{\circ}
. Но тогда
\angle ACB=\angle APB=90^{\circ}.
Проведя аналогичные рассуждения, получим, что принадлежность точек Q
, B_{1}
и M
одной прямой также равносильна условию \angle ACB=90^{\circ}
.
Автор: Доледенок А. В.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2024, LXXXVII, 9 класс, задача 4
Источник: Турнир городов. — 2023-2024, XLV, весенний тур, сложный вариант, 8-9 классы, задача 6
Источник: Журнал «Квант». — 2024, № 5-6, с. 34 задача 6; № 4, с. 54, задача 6