16575. На стороне AB
прямоугольника ABCD
выбрана точка P
, а на стороне CD
— точка Q
. Известно, что \angle BCP=17^{\circ}
, \angle AQP=37^{\circ}
, \angle QAD=16^{\circ}
. Найдите \angle CPQ
.
Ответ. 38^{\circ}
.
Решение. Отметим на сторонах CD
и AB
точки соответственно P_{1}
и Q_{1}
, для которых PP_{1}\parallel QQ_{1}\parallel BC
Из параллельности прямых BC
и PP_{1}
получаем, что
\angle P_{1}PC=\angle BCP=17^{\circ}.
Аналогично, из параллельности прямых AD
и QQ_{1}
получаем, что
\angle Q_{1}QA=\angle DAQ=16^{\circ}.
Тогда
\angle PQQ_{1}=\angle PQA-\angle Q_{1}QA=37^{\circ}-16^{\circ}=21^{\circ}.
Из параллельности прямых PP_{1}
и QQ_{1}
получаем, что
\angle P_{1}PQ=\angle PQQ_{1}=21^{\circ}.
Следовательно,
\angle CPQ=\angle CPP_{1}+\angle P_{1}PQ=17^{\circ}+21^{\circ}=38^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, 8 класс, школьный этап, задача 2