16581. В треугольнике ABC
с углом A
, равным 60^{\circ}
, проведены биссектрисы AY
и CX
. На отрезках AX
и CY
отмечены точки K
и N
, причём KN\parallel AC
. Прямая KN
пересекает отрезки CX
и AY
в точках L
и M
соответственно. Оказалось, что KL=LM=MN
. Известно, что KN=9
.
а) Найдите отрезок CN
.
б) Найдите отрезок AC
.
Ответ. а) 6; б) 15.
Решение. а) Из параллельности KN
и AC
получаем
\angle CLN=\angle ACL=\angle LCN,
поэтому треугольник CNL
равнобедренный с основанием CL
. Следовательно,
CN=NL=\frac{2}{3}KN=6.
б) Аналогично получаем, что AK=KM=6
, поэтому трапеция AKNC
равнобедренная. Углы при её основании AC
равны, значит, треугольник ABC
равнобедренный, а так как его угол при вершине B
равен 60^{\circ}
, то треугольник ABC
равносторонний. Его биссектрисы AX
и AY
являются высотами и медианами.
Пусть O
— точка их пересечения. Из прямоугольного треугольника MNY
с прямым углом при вершине Y
находим, что
MY=MN\sin\angle MNY=3\sin60^{\circ}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Из равнобедренного треугольника MOL
с углом 120^{\circ}
при вершине O
находим, что
OM=\frac{ML}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.
Тогда
OY=OM+MY=\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}.
В то же время, поскольку O
— центр равностороннего треугольника ABC
, то
OY=\frac{1}{3}AY=\frac{AC\sqrt{3}}{6}.
Из равенства \frac{AC\sqrt{3}}{6}=\frac{5\sqrt{3}}{2}
находим, что AC=15
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, 8 класс, муниципальный этап, задача 8.4