16582. На диагонали AC
выпуклого четырёхугольника ABCD
с углом 132^{\circ}
при вершине A
отмечена точка T
, причём AD=BT
. Оказалось, что AB=BC=CT
и \angle ABT=\angle CAD
. Найдите \angle BCD
.
Ответ. 36^{\circ}
.
Решение. Из равнобедренных треугольников ABC
и BCT
находим, что
\angle BAC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-132^{\circ})=24^{\circ},
\angle CBT=\angle CBT=\frac{1}{2}(180^{\circ}-24^{\circ})=78^{\circ}.
Тогда
\angle CAD=\angle ABT=\angle ABC-\angle CBT=132^{\circ}-78^{\circ}=54^{\circ}.
На стороне AC
отложим отрезок AE=AB=CT
. Тогда треугольники DAE
и TBA
равны по двум сторонам и углу между ними, так как
AE=AB,~AD=BT~\mbox{и}~\angle DAE=\angle TBA=54^{\circ}.
Тогда
\angle AED=\angle BAT=24^{\circ}~\mbox{и}~DE=TA=AC=AC-CT=AC-AE=CE,
поэтому AED
— внешний угол равнобедренного треугольника CED
с основанием CD
. Значит,
\angle ACD=\angle ECD=\frac{1}{2}\angle AED=\frac{1}{2}\cdot24^{\circ}=12^{\circ}.
Следовательно,
\angle BCD=\angle BCA+\angle ACD=24^{\circ}+12^{\circ}=36^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, 8 класс, муниципальный этап, задача 8.8