16587. На стороне BC
остроугольного треугольника ABC
выбраны точки P
и Q
, причём BP=PQ=QC
. Точки X
и Y
выбраны на отрезках соответственно AC
и AB
, причём PX\perp AC
и QY\perp AB
. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC
равноудалена от прямых XQ
и YP
.
Решение. Пусть M
— середина BC
(тогда M
— ещё и середина PQ
) G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда MG:GA=1:2
, а так как MP:PB=1:2
, получаем, что PG\parallel BA
. Тогда
\angle YPG=\angle PYB~\mbox{и}~\angle QPG=\angle PBY.
Поскольку YP
— медиана прямоугольного треугольника BYQ
, то \angle PYB=\angle PBY
. Тогда \angle YPG=\angle QPG
, т. е. PG
— биссектриса угла QPY
. Значит, точка G
равноудалена от прямых PQ
и PY
. Аналогично показывается, что QG
— биссектриса угла PQX
, и потому точка G
равноудалена от прямых PQ
и QX
. Значит, она равноудалена от трёх прямых YP
, PQ
и XQ
. Этим завершается решение.
Примечание. В ситуации, описанной в условии (когда треугольник ABC
остроугольный), получается, что G
— центр вневписанной окружности треугольника PQR
, где R
— точка пересечения прямых XQ
и YP
.
Автор: Матвеев А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, L, второй день, 9 класс, региональный этап, задача 9.8