16588. Введём систему координат xOy
так, чтобы радиус большой окружности был равен 1, ось Ox
была сонаправлена с лучом AB
. Пусть точка C
имеет координаты (\cos\alpha;\sin\alpha)
, точка B
имеет координаты (\cos\beta;\sin\beta)
, точка A
имеет координаты (-{\cos\beta};\sin\beta)
, O(x_{O};y_{O})
— центр вписанной в сегмент окружности, r
— её радиус, T(x_{T};y_{T})
— точка её касания с хордой BC
, M(\cos\gamma;\sin\gamma)
— точка её касания с дугой CD
, L(0;-1)
. Можно считать, что \alpha
, \beta
, \gamma\in(-90^\circ;90^\circ]
, причём \gamma\gt\alpha\gt\beta
.
По лемме Архимеда точки L
, T
, M
лежат на одной прямой. Прямая ML
задаётся уравнением (1+y)\cos\gamma=x(1+\sin\gamma)
. Так как y_{T}=\sin\alpha
, то
x_{O}=x_{T}=\frac{1+\sin\alpha}{1+\sin\gamma}\cos\gamma.
Следовательно,
y_{O}=\frac{1+\sin\alpha}{1+\sin\gamma}\sin\gamma,
r=1-\frac{1+\sin\alpha}{1+\sin\gamma}=\frac{\sin\gamma-\sin\alpha}{1+\sin\gamma}.
Квадрат касательной, проведённой из точки B
, равен
l_{B}^{2}=(\cos\beta-x_{O})^{2}+(\sin\beta-y_{O})^{2}-r^{2}.
Поэтому
l_{B}^{2}(1+\sin\gamma)^{2}=
=((1+\sin\gamma)\cos\beta-(1+\sin\alpha)\cos\gamma)^{2}+((1+\sin\gamma)\sin\beta-(1+\sin\alpha)\sin\gamma)^{2}-(\sin\gamma-\sin\alpha)^{2}=
=(1+\sin\gamma)^{2}+(1+\sin\alpha)^{2}-\sin^{2}\gamma-\sin^{2}\alpha+2\sin\gamma\sin\alpha-2(1+\sin\gamma)(1+\sin\alpha)(\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\sin\gamma)=
=2(1+\sin\gamma+\sin\alpha+\sin\gamma\sin\alpha)-2(1+\sin\gamma)(1+\sin\alpha)\cos(\gamma-\beta))=
=2(1+\sin\gamma)(1+\sin\alpha)(1-\cos(\gamma-\beta)),
l_{B}^{2}=2\cdot\frac{1+\sin\alpha}{1+\sin\gamma}\cdot2\sin^{2}\frac{\gamma-\beta}{2}=2\cdot\frac{\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\right)^{2}}{\left(\sin\frac{\gamma}{2}+\cos\frac{\gamma}{2}\right)^{2}}\cdot2\sin^{2}\frac{\gamma-\beta}{2},
l_{B}=2\cdot\frac{\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}+\cos\frac{\gamma}{2}}\sin\frac{\gamma-\beta}{2}.
Аналогично, касательная, проведённая из точки A
, равна
l_{A}=2\cdot\frac{\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}+\cos\frac{\gamma}{2}}\cos\frac{\gamma+\beta}{2}.
Заметим, что
\sin\frac{\gamma-\beta}{2}+\cos\frac{\gamma+\beta}{2}=\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\beta}{2}-\cos\frac{\gamma}{2}\sin\frac{\beta}{2}+\cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\beta}{2}-\sin\frac{\gamma}{2}\sin\frac{\beta}{2}=
=\left(\sin\frac{\gamma}{2}+\cos\frac{\gamma}{2}\right)\left(\cos\frac{\beta}{2}-\sin\frac{\beta}{2}\right).
Поэтому
l_{A}+l_{B}=2\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\right)\left(\cos\frac{\beta}{2}-\sin\frac{\beta}{2}\right)
не зависит от \gamma
.