16589. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором AB=BD
. На отрезке BD
выбрали точку K
, для которой AD\parallel KC
. Описанная окружность треугольника KDC
пересекает отрезок BC
в точке L
. Известно, что \angle ABD=48^{\circ}
и \angle CBD=13^{\circ}
. Найдите \angle BAL
.
Ответ. 53^{\circ}
.
Решение. Из равнобедренного треугольника AB
получаем
\angle ADB=\angle DAB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-48^{\circ})=66^{\circ}.
Из параллельности AD
и KC
следует, что
\angle CKD=\angle ADB=66^{\circ}.
Вписанные углы CLD
и CKD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CLD=\angle CKD=66^{\circ}.
Поскольку
\angle BLD+\angle BAD=(180^{\circ}-66^{\circ})+66^{\circ}=180^{\circ},
около четырёхугольника ABLD
можно описать окружность. Вписанные в неё углы DAL
и DBL
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle DAL=\angle DBL=\angle DBC=13^{\circ}.
Следовательно,
\angle BAL=\angle BAD-\angle DAL=66^{\circ}-13^{\circ}=53^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, L, 9 класс, муниципальный этап, задача 9.5