16590. Вписанный четырёхугольник ABCD
таков, что \angle ADB=40^{\circ}
и \angle CDB=52^{\circ}
. Точка M
внутри четырёхугольника такова, что \angle BAM=26^{\circ}
и \angle BCM=20^{\circ}
. Найдите угол \angle CBM
.
Ответ. 44^{\circ}
.
Решение. Вписанные углы BAC
и BDC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle BAC=\angle BDC=52^{\circ},
поэтому
\angle MAC=\angle BAC-\angle BAM=52^{\circ}-26^{\circ}=26^{\circ}=\angle BAM.
Значит, AM
— биссектриса угла BAC
. Аналогично получим, что CM
— биссектриса угла ACB
. Две биссектрисы треугольника ABC
пересекаются в точке M
, поэтому BM
— биссектриса угла ABC
.
По свойству вписанного четырёхугольника
\angle ABC=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-(\angle ADB+\angle CDB)=180^{\circ}-(40^{\circ}+52^{\circ})=88^{\circ}.
Следовательно,
\angle CBM=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot88^{\circ}=44^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, L, 10 класс, муниципальный этап, задача 10.3