16597. Дан параллелограмм ABCD
. Точка M
— середина дуги ABC
описанной окружности треугольника ABC
. На отрезке AD
отмечена точка E
, а на отрезке CD
— точка F
. Известно, что ME=MD=MF
. Докажите, что точки B
, M
, E
и F
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть \angle ADC=x
. Из равнобедренных треугольников DME
и DMF
(или из того, что M
— центр описанной окружности треугольника DEF
) получаем
\angle EMF=360^{\circ}-2x.
Для решения задачи достаточно доказать, что угол FBE
тоже равен 360^{\circ}-2x
.
При гомотетии с центром D
и коэффициентом \frac{1}{2}
точки E
, F
и B
переходят соответственно в E'
, F'
и B'
— середины отрезков DE
, DF
и DB
соответственно. Найдём угол F'B'E'
, равный углу FBE
, заметив, что E'
и F'
— проекции точки M
на стороны AD
и CD
, а B'
— центр параллелограмма, или середина его диагонали AC
, т. е. B'
— проекция точки M
на AC
.
Точки M
, E'
, A
и B'
лежат на окружности с диаметром AM
, поэтому
\angle DE'B'=\angle AMB'=\frac{1}{2}\angle AMC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{x}{2}.
Аналогично, \angle DF'B'=\frac{x}{2}
. Тогда из четырёхугольника E'B'F'D
находим, что
\angle F'B'E'=360^{\circ}-x-\frac{x}{2}-\frac{x}{2}=360^{\circ}-2x.
Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Терёшин А. Д.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, L, 10 класс, заключительный этап, задача 10.6
Источник: Журнал «Квант». — 2024, № 5-6 M2800, с. 16
Источник: Задачник «Кванта». — M2800