16599. Остроугольный неравнобедренный треугольник ABC
вписан в окружность \omega
с центром O
. Его высоты пересекаются в точке H
. Через точку O
проведена прямая, перпендикулярная AH
, а через точку H
— прямая, перпендикулярная AO
. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами AB
и AC
лежат на одной окружности, которая касается окружности \omega
.
Решение. Пусть луч AH
пересекает окружность \omega
в точке D
. Тогда прямая, проведённая через точку O
перпендикулярно AD
— серединный перпендикуляр к хорде AD
. Пусть эта прямая пересекает стороны AB
и AC
в точках X
и Y
соответственно, а прямая, проведённая через точку H
перпендикулярно AO
, пересекает эти стороны в точках Z
и T
соответственно. Поскольку XY\parallel BC
, при гомотетии с центром A
, переводящей точку X
в точку B
, окружность \omega
переходит в описанную окружность \omega'
треугольника AXY
, которая касается \omega
в точке A
. При симметрии относительно прямой XY
, окружность \omega
переходит в себя (см. задачу 1677), а окружность \omega'
— в описанную окружность \omega''
треугольника DXY
, которая тоже касается окружности \omega
.
Пусть прямая AO
пересекает отрезок ZT
в точке N
, а BB_{1}
— высота треугольника ABC
. Поскольку ZH\perp AO
, а треугольник AOB
равнобедренный, получаем
\angle AZH=\angle AZN=90^{\circ}-\angle ZAO=90^{\circ}-\angle ZAO=90^{\circ}-\angle BAO=
=90^{\circ}-\angle OAB=\frac{1}{2}\angle OAB=\angle ACB=\angle ADB.
Следовательно, четырёхугольник BZHD
вписанный. Тогда
\angle BZD=\angle BHD=\angle AHB_{1}=\angle ACB.
Значит,
\angle XYD=\angle AYX=\angle ACB=\angle BZD,
поэтому четырёхугольник XYDZ
вписанный, а тогда точка Z
лежит на описанной окружности \omega''
треугольника DXY
. Аналогично докажем, что на этой окружности лежит и точка T
. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, L, 11 класс, заключительный этап, задача 11.6