1660. На диагоналях AC
и CE
правильного шестиугольника ABCDEF
взяты точки M
и N
соответственно, причём \frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=\lambda
. Известно, что точки B
, M
и N
лежат на одной прямой. Найдите \lambda
.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{3}}
.
Указание. Запишите условие коллинеарности векторов \overrightarrow{BM}
и \overrightarrow{BN}
.
Решение. Первый способ. Заметим, что 0\leqslant\lambda\leqslant1
. Введём векторы \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}
(рис. 1). Тогда
\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AC}=\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}),
\overrightarrow{CN}=\lambda\overrightarrow{CE}=\lambda(\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FE})=\lambda(-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}),
\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{a}+\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=(\lambda-1)\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b},
\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{b}+\lambda(-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=-2\lambda\overrightarrow{a}+(\lambda+1)\overrightarrow{b}.
Если точки B
, M
, N
лежат на одной прямой, то векторы \overrightarrow{BM}
и \overrightarrow{BN}
коллинеарны. Поэтому \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BN}
, или
(\lambda-1)\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}=-2k\lambda\overrightarrow{a}+k(\lambda+1)\overrightarrow{b}.
Поскольку \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
— неколлинеарные векторы, имеем систему уравнений
\syst{(\lambda-1)=-2k\lambda\\\lambda=k(\lambda+1),\\}
из которой находим, что \lambda=\frac{1}{\sqrt{3}}
.
Второй способ. Пусть L
— точка пересечения диагоналей BF
и AC
(рис. 2). Диагонали BF
и CE
параллельны, поэтому треугольники BLM
и NCM
подобны. Следовательно, \frac{BL}{NC}=\frac{LM}{CM}
. Выразим длины отрезков в этом равенстве через \lambda
, считая длину диагонали, равной 1.
Из подобия треугольников ABL
и CFL
следует, что \frac{BL}{LF}=\frac{AB}{CF}=\frac{1}{2}
. Следовательно, BL=\frac{1}{3}
(так как BF=AC=1
). Аналогично AL=\frac{1}{3}
. Ясно, что CN=AM=\lambda
, а LM=AM-AL=\lambda-\frac{1}{3}
. Таким образом,
\frac{\frac{1}{3}}{\lambda}=\frac{\lambda-\frac{1}{3}}{1-\lambda}.
Следовательно,
\lambda^{2}=\frac{1}{3},~\lambda=\frac{1}{\sqrt{3}}.