16600. В треугольнике ABC
провели медианы BK
и CN
, пересекающиеся в точке M
. Какое наибольшее количество сторон четырёхугольника ANMK
может иметь длину 1?
Ответ. 2 стороны.
Решение. Подходит, например, любой треугольник, где AB=AC=2
. Докажем, что трёх равных сторон быть не может.
Первый способ. Предположим, что хотя бы три стороны четырёхугольника ANMK
равны 1. Возможны всего два принципиально различных случая.
1) AN=NM=MK=1
. Тогда NB=1
, MB=2
, значит, MN+NB=MB
.
2) KA=AN=NM=1
. Тогда AC=2
, NC=3
, значит, NA+AC=NC
.
В обоих случаях получено противоречие с неравенством треугольника.
Второй способ. Если более двух сторон четырёхугольника равны 1, то либо AK=NA
, либо KM=MN
. В первом случае треугольник ABC
равнобедренный. Во втором случае BK=CN=3
, так что и в этом случае треугольник ABC
равнобедренный. Отсюда следует, что
AK=KM=MN=NA,
т.е, AKMN
— ромб. Противоречие, так как прямые AK
и NM
не параллельны.
Третий способ. Пусть L
— середина стороны BC
. Если NM=NA=NB
, то треугольник AMB
прямоугольный. Треугольник LMK
подобен треугольнику AMB
с коэффициентом \frac{1}{2}
, поэтому MK\lt LK=NA
, а так как AM\gt LM
, то у треугольника AMK
гипотенуза больше, чем у треугольника LMK
, т. е. AK\gt LK=NA
. Таким образом, в четырёхугольнике ANMK
нет трёх равных друг другу сторон.
Случай, когда KM=KA
аналогичен, а если KM\ne KA
и NM\ne NA
, то среди отрезков NM
, NA
, KM
, KA
также нет трёх равных друг другу.
Примечание. Любые две стороны четырёхугольника ANMK
могут быть равны 1. Равенство NM=NA
выполнено в треугольнике с перпендикулярными медианами (см. способ 3). Равенство NA=MK
верно для треугольника со сторонами AB=2
и BK=3
.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Турнир городов. — 2022-2023, XLIV, весенний тур, базовый вариант, 26 февраля, задача 2, 8-9 классы