16603. Высоты остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Пусть P
— произвольная точка внутри (и не на сторонах) треугольника ABC
, лежащая на описанной окружности треугольника ABH
, и A'
, B'
, C'
— проекции точки P
на прямые BC
, CA
, AB
. Докажите, что описанная окружность треугольника A'B'C'
проходит через середину отрезка CP
.
Решение. Пусть M
— середина CP
. Точки A'
и B'
лежат на окружности с диаметром CP
и центром в точке M
, а вписанный в эту окружность угол A'CB'
острый, поэтому \angle A'MB'=2\angle BCA
и точка M
лежит от прямой A'B'
по ту же сторону, что и C
. Поскольку точка P
лежит внутри остроугольного треугольника, её проекции A'
B'
и C'
лежат внутри сторон. Тогда четырёхугольники AB'PC'
и BA'PC'
вписанные.
Используя равенства вписанных углов, получаем
180^{\circ}-\angle A'C'B'=\angle AC'B'+\angle BC'A'=\angle APB'+\angle BPA'=
=360^{\circ}-\angle APB-\angle A'PB'=(180^{\circ}-\angle APB)+(180^{\circ}-\angle A'PB')=
=(180^{\circ}-\angle AHB)+(180^{\circ}-\angle A'PB')=\angle BCA+\angle BCA=2\angle BCA,
откуда
2\angle BCA+\angle A'C'B'=180^{\circ}~\Rightarrow~\angle A'MB'+\angle A'C'B'=180^{\circ}.
Следовательно, точки A'
, M
, B'
и C'
лежат на одной окружности. Отсюда вытекает утверждение задачи.
Примечание. Утверждение задачи остаётся верным для всякого треугольника ABC
, в котором углы при вершинах A
и B
не прямые, и для произвольной точки P
, лежащей на описанной окружности треугольника ABH
и отличной от вершин треугольника ABC
.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Турнир городов. — 2023-2024, XLV, осенний тур, базовый вариант, 15 октября, 10-11 классы, задача 4