16606. Хорда DE
описанной около треугольника ABC
окружности пересекает стороны AB
и BC
в точках P
и Q
соответственно, точка P
лежит между D
и Q
. В треугольниках ADP
и QEC
провели биссектрисы DF
и EG
. Оказалось, что точки D
, F
, G
и E
лежат на одной окружности. Докажите, что точки A
, P
, Q
, C
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть \alpha
— окружность, описанная около треугольника ABC
, \beta
— окружность, на которой лежат точки D
, F
, G
и E
. Заметим, что эти точки лежат на \beta
именно в таком порядке. Пусть B'
— центр окружности \beta
. Докажем, что точки B
и B'
совпадают.
Вписанные углы ADE
и ABE
равны, так как опираются на дугу ACE
, поэтому 2\angle FDE=\angle FBE
(поскольку DF
— биссектриса угла ADE
). С другой стороны, \angle FB'E=2\angle FDE
(как центральный и вписанный углы), поэтому \angle FBE=\angle FB'E
. Тогда точка B
' лежит на дуге FBE
описанной окружности треугольника FBE
. Аналогично, точка B'
лежит на дуге DBG
описанной окружности треугольника DBG
.
Но дуга DFGE
лежит внутри окружности \alpha
, поэтому дуга DBE
лежит внутри окружности \beta
. Тогда дуги FBE
и DBG
также лежат внутри \beta
и пересекаются в единственной точке, поскольку дуга FBE
делит окружность \beta
на две части, причём точки D
и G
попадают в разные части (D
лежит на дуге FDE
, а G
— на дуге FGE
). Значит, точки B
и B'
совпадают. Значит, B
— середина дуги DBE
(поскольку BD=BE
).
Но тогда равны углы EAB
и DAB
, и для угла BPQ
как для угла между хордами DE
и AB
, получаем равенство
\angle BPQ=\angle EAB+\angle DBA=\angle DAB+\angle DBA=180^{\circ}-\angle ADB=\angle ACB.
Значит, четырёхугольник APQC
вписанный. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Обосновать тот факт, что дуги FBE
и DBG
пересекаются в единственной точке, можно по-разному. Например, рассмотрим радикальные оси описанных окружностей: четырёхугольника DFGE
, треугольника DBG
и треугольника FBE
. Они пересекаются в радикальном центре — точке пересечения отрезков DG
и FE
(исходя из последовательности точек на окружности). Пусть это точка S
, а вторая точка пересечения окружностей DBG
и FBE
— это точка Z
. Поскольку S
лежит внутри хорды, то её степень относительно всех трёх окружностей отрицательна, т. е. S
лежит между точками B
и Z
. Значит, точка Z
и точка B
лежат в разных полуплоскостях относительно прямой DG
. Следовательно, Z
не лежит на дуге DBG
, т. е. B
— единственная точка пересечения указанных дуг.
Автор: Марданов А. П.
Источник: Турнир городов. — 2023-2024, XLV, осенний тур, сложный вариант, 29 октября, 10-11 классы, задача 5