16607. Точки P
и Q
лежат внутри окружности \omega
. Серединный перпендикуляр к отрезку PQ
пересекает \omega
в точках A
и D
. Окружность с центром D
, проходящая через P
и Q
, пересекает \omega
в точках B
и C
. Отрезок PQ
лежит внутри треугольника ABC
. Докажите, что \angle ACP=\angle BCQ
.
Решение. Пусть I
— точка пересечения отрезка AD
и дуги BPQC
. Поскольку DB=DC
, то AD
— биссектриса угла BAC
. Тогда из теоремы о трилистнике (см. задачу 788) следует, что точка I
— центр вписанной в треугольник ABC
окружности. Значит, CI
— биссектриса угла ACB
. С другой стороны, поскольку прямая AD
— серединный перпендикуляр к отрезку PQ
, то PI=QI
, поэтому CI
— биссектриса угла PCQ
. Следовательно,
\angle ACP=\angle ACI+\angle PCI=\angle BCI+\angle QCI=\angle BCQ.
Что и требовалось доказать.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Турнир городов. — 2023-2024, XLV, устный тур, 31 марта 2024, 10-11 классы, задача 2