16614. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
. На сторонах AD
и CD
взяты точки E
и F
, причём AE=BC
и AB=CF
. Пусть M
— середина отрезка EF
. Докажите, что угол AMC
прямой.
Решение. Сумма углов пятиугольника ABCFE
равна 180^{\circ}(5-2)=540^{\circ}
, а так как \angle A+\angle C=180^{\circ}
как сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника ABCD
, то
\angle B+\angle E+\angle F=360^{\circ}.
Отложим от произвольной точки U
отрезки
UX=AB=CF,~UY=BC=AE,~UZ=ME=MF
так, чтобы
\angle XUY=\angle B~\angle YUZ=\angle E,~\angle ZUX=\angle F.
Тогда треугольники UXY
, UYZ
, UZX
и XYZ
соответственно равны треугольникам BAC
, EMA
, EMC
и ACM
. Значит,
\angle AMC=\angle AMU+\angle CMU=\angle AME+\angle CMF=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Автор: Кухарчук И. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, заочный тур, 8 класс, задача 5