16620. В трапеции ABCD
(см. рис.) основание AD
вдвое больше основания BC
, а угол C
в полтора раза больше угла A
. Диагональ AC
делит C
на два угла. Определите, какой из них больше.
Ответ. Угол ACD
.
Решение. Положим \angle A=2\alpha
и \angle C=3\alpha
.
Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке P
. Тогда BC
— средняя линия треугольника APB
, поэтому B
и C
— середины отрезков AP
и DP
соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку DP
(проходит через точку C
) пересекает отрезок AP
в точке Q
.
Заметим, что
\angle APD=\angle BPC=\angle BCD-\angle PBC=\angle BCD-\angle PAD=3\alpha-2\alpha=\alpha.
Поскольку QP=QD
, получаем
\angle AQD=\angle QPD+\angle QDP=\alpha+\alpha=2\alpha=\angle QAD,
поэтому
AD=QD\gt CD
(гипотенуза QD
прямоугольного треугольника DCQ
больше катета CD
). Значит, в треугольнике ACD
против большей стороны AD
лежит больший угол ACD
. Следовательно,
\angle ACD\gt\angle CAD=\angle ACB.
Автор: Марданов А. П.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, заочный тур, 8-11 классы, задача 13