16621. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Точки X
и Y
лежат продолжениях за точку D
сторон CD
и AD
соответственно, причём DX=AB
и DY=BC
. Аналогично, точки Z
и T
лежат продолжениях за точку B
сторон CB
и AB
соответственно, причём BZ=AD
и BT=DC
. Пусть M_{1}
— середина отрезка XY
, а M_{2}
— середина отрезка ZT
. Докажите, что прямые DM_{1}
, BM_{2}
и AC
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть прямая DM_{1}
пересекает отрезок AC
в точке P
. Обозначим
\angle ADP=\angle YDM_{1}=\alpha,~\angle CDP=\angle XDM_{1}=\beta,~\angle DM_{1}Y=\varphi,~\angle APD=\psi.
По теореме синусов из треугольников DM_{1}Y
и DM_{1}X
получаем
\frac{\sin\alpha}{\sin\varphi}=\frac{YM_{1}}{DY}~\mbox{и}~\frac{\sin\beta}{\sin(180^{\circ}-\varphi)}=\frac{\sin\beta}{\sin\varphi}=\frac{XM_{1}}{DX}.
Отсюда, учитывая, что YM_{1}=XM_{1}
, получаем
\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{DX}{DY}=\frac{AB}{BC}.
По теореме синусов из треугольников DPA
и DPC
получаем
\frac{\sin\alpha}{\sin\psi}=\frac{AP}{AD}~\mbox{и}~\frac{\sin\beta}{\sin(180^{\circ}-\psi)}=\frac{\sin\beta}{\sin\psi}=\frac{CP}{CD},
откуда
\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{AP\cdot CD}{AD\cdot CP}.
Из равенства \frac{AB}{BC}=\frac{AP\cdot CD}{AD\cdot CP}
следует что
\frac{AP}{CP}=\frac{AB}{BC}\cdot\frac{AD}{CD}=\frac{AB\cdot AD}{BC\cdot CD}.
Такое же отношение получим для точки пересечения AC
и BM_{2}
. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Матвеев А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, заочный тур, 9-10 классы, задача 15