16622. Решите следующие уравнения и неравенства.
а) |x-1|+|x-2|=3
;
б) |x-1|+|x-2|\lt3
;
в) |x|+|1+x|=1
;
г) |x|+|1+x|\geqslant1
;
д) |6+x|+|6-x|=8
.
Ответ. а) x=0
и x=3
; б) 0\lt x\lt3
; в) -1\leqslant x\leqslant0
; г) x
— любое число; д) нет решений.
Решение. Заметим, что |a-b|
— это расстояние между точками a
и b
на числовой оси.
а) Решить уравнение |x-1|+|x-2|=3
— это значит найти все точки числовой оси, сумма расстояний от каждой из которых до точек 1 и 2 равна 3. На отрезке [1;2]
таких точек нет, а вне этого отрезка — это две точки x=0
и x=3
.
б) Решить неравенство |x-1|+|x-2|\lt3
— это значит найти все точки числовой оси, сумма расстояний от каждой из которых до точек 1 и 2 меньше. Для все точек отрезка [1;2]
эта сумма равна 1\lt3
, а вне этого отрезка эта сумма меньше 3 для всех точек, для которых 0\lt x\lt1
или 2\lt x\lt3
. Для всех остальных точек числовой оси эта сумма не меньше 3.
в) Решить уравнение |x|+|1+x|=1
— это значит найти все точки числовой оси, сумма расстояний от каждой из которых до точек 0 и -1 равна 1. Любая точка отрезка [-1;0]
удовлетворяет этому условию, а вне этого отрезка сумма указанных расстояний больше 1.
г) Из предыдущего пункта следует, что сумма расстояний от каждой точки отрезка [-1;0]
равна 1. Для всех остальных точек числовой оси эта сумма больше 1. Значит, неравенство верно для всех точек числовой оси.
д) Решить уравнение |6+x|+|6-x|=8
— это значит найти все точки числовой оси, сумма расстояний от каждой из которых до точек -6 и 6 равна 8. Для всех точек отрезка [-1;0]
эта сумма равна его длине, т. е. 12, а для всех точек вне отрезка [-1;0]
эта сумма больше 12>8. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 1.3, с. 11