16623. Точка D
лежит на основании AB
равнобедренного тупоугольного треугольника ABC
, причём отрезок AD
равен радиусу описанной окружности треугольника BCD
. Найдите угол ACD
.
Ответ. 30^{\circ}
или 150^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника BCD
, M
— середина CD
, H
— проекция D
на прямую AC
. Тогда
\angle DOM=\frac{1}{2}\angle DOC=\angle DBC=\angle DAC~\mbox{и}~DO=DA.
Следовательно, прямоугольные треугольники DAH
и DOM
равны по гипотенузе и острому углу. Тогда
DH=DM=\frac{1}{2}DC~\mbox{и}~\angle DCH=30^{\circ}.
Таким образом, угол ACD
равен 30^{\circ}
, если точка H
лежит на отрезке AC
, и 150^{\circ}
в противном случае.
Примечание. Задачу также можно решить с помощью теоремы синусов.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, финал, первый день, 8 класс, задача 1