16625. В остроугольном треугольнике ABC
медиана CM
и высота AH
пересекаются в точке O
. Вне треугольника отмечена точка D
, для которой AOCD
— параллелограмм. Чему равно BD
, если известно, что MO=a
и OC=b
?
Ответ. 2a+b
.
Решение. На продолжении медианы за точку M
отметим отрезок MK=CM
. Тогда CAKB
— параллелограмм, поэтому AK=BC
и AK\parallel BC
. Кроме того, AO=CD
и \angle BCD=\angle OAK=90^{\circ}
, так как AH
— высота. Значит, прямоугольные треугольники BCD
и KAO
равны по двум катетам. Следовательно,
BD=OK=CK-CO=2CM-CO=2a+b.
Автор: Попов Л. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, финал, второй день, 8 класс, задача 5