16626. Биссектриса угла A
треугольника ABC
пересекает описанную около него окружность \omega
в точке W
. Окружность s
, построенная на отрезке AH
как на диаметре (H
— ортоцентр треугольника ABC
), пересекает \omega
в точке P
. Восстановите треугольник ABC
по точкам A
, P
и W
.
Решение. По точкам A
, P
и W
построим окружность \omega
, её центр O
и точку A'
, диаметрально противоположную A
. Поскольку
\angle APA'=\angle APH=90^{\circ},
точка H
лежит на прямой PA'
, а так как
\angle ABA'=\angle ACA'=90^{\circ},
то BA'\parallel CH
и CA'\parallel BH
. Значит, четырёхугольник HBA'C
— параллелограмм, поэтому точки H
и A'
симметричны относительно середины M
стороны BC
. Следовательно, мы можем построить точку M
как пересечение прямых PA'
и OW
(см. задачу 1743), а затем провести через точку M
прямую, перпендикулярную OW
, и найти точки B
и C
её пересечения с окружностью \omega
.
Автор: Филипповский Г. Б.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, финал, второй день, 8 класс, задача 7