1663. Теорема Ван-Обеля. Точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
лежат соответственно на сторонах BC
, AC
, AB
треугольника ABC
, причём отрезки AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
пересекаются в точке K
. Докажите, что
\frac{AK}{KA_{1}}=\frac{AB_{1}}{B_{1}C}+\frac{AC_{1}}{C_{1}B}.
Указание. Через вершину A
проведите прямую, параллельную стороне BC
, и рассмотрите пары подобных треугольников.
Решение. Через вершину A
проведём прямую, параллельную BC
, до пересечения с прямыми BB_{1}
и CC_{1}
в точках P
и Q
соответственно. Тогда треугольник AB_{1}P
подобен треугольнику CB_{1}B
, треугольник AC_{1}Q
— треугольнику BC_{1}C
, а треугольник PKQ
— треугольнику CKB
. Следовательно,
\frac{AB_{1}}{B_{1}C}+\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{AP}{BC}+\frac{AQ}{BC}=\frac{AP+AQ}{BC}=\frac{PQ}{BC}=\frac{AK}{KA_{1}}.
Примечание. Если отрезки, рассматриваемые в теореме, считать направленными, то теорема будет верна и в случае, когда какие-то из точек A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат не на сторонах треугольника, а на их продолжениях, т. е. когда точка K
лежит вне треугольника ABC
.