16630. Точка M
— середина катета AB
прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом A
. На медиане AN
треугольника AMC
отмечена точка D
, причём углы ACD
и BCM
равны. Докажите, что угол DBC
также равен этим углам.
Решение. Обозначим \angle AMC=\varphi
. По теореме синусов из треугольников ACM
и BCM
получаем
\frac{AC}{\sin\varphi}=\frac{AM}{\sin\angle ACM}~\mbox{и}~\frac{BC}{\sin\varphi}=\frac{BC}{\sin(180^{\circ}-\varphi)}=\frac{BM}{\sin\angle BCM},
откуда, учитывая, что
\angle ACM=\angle ACN=\angle NAC=\angle CAD~\mbox{и}~\angle BCM=\angle ACD,
получаем
\frac{AC}{BC}=\frac{\sin\angle BCM}{\sin\angle ACM}=\frac{\sin\angle ACD}{\sin\angle CAD}=\frac{AD}{CD}
(последнее равенство — теорема синусов для треугольника ACD
), а так как \angle CAD=\angle BCD
, то треугольники ACD
и BDC
подобны. Следовательно, \angle DBC=\angle ACD
. Что и требовалось доказать.
Автор: Марданов А. П.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, финал, первый день, 10 класс, задача 1