16634. В треугольнике ABC
вписанная окружность \omega
касается сторон BC
, CA
и AB
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно, P
— произвольная точка этой окружности. Прямая AP
вторично пересекает описанную окружность треугольника AB_{1}C_{1}
в точке A_{2}
. Аналогично строятся точки B_{2}
и C_{2}
. Докажите, что описанная окружность треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
касается окружности \omega
.
Решение. Пусть I
— центр окружности \omega
. Из точек A
, B_{1}
и C_{1}
отрезок AI
виден под прямым углом. Значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AI
. Тогда
\angle IA_{2}P=\angle IA_{2}A=90^{\circ},
поэтому точка A_{2}
лежит на окружности с диаметром IP
, которая касается окружности \omega
. Аналогично, точки B_{2}
и C_{2}
лежат на этой окружности. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2024, XX, заочный тур, 8 класс, задача 4