16642. Даны окружность \omega
с центром O
и точка P
внутри неё. Пусть X
— произвольная точка окружности \omega
, а прямая XP
и описанная окружность треугольника XOP
пересекают \omega
во второй раз в точках X_{1}
и X_{2}
соответственно. Докажите,что все прямые X_{1}X_{2}
параллельны друг другу.
Решение. Из вписанного четырёхугольника XPOX_{2}
и равнобедренного треугольника XOX_{1}
получаем
\angle PX_{2}O=\angle PXO=\angle PX_{1}O,
а так как OX_{1}=OX_{2}
, то \angle PX_{1}X_{2}=\angle PX_{2}X_{1}
. Значит, PX_{1}=PX_{2}
. Таким образом, PO
—серединный перпендикуляр ко всем отрезкам X_{1}X_{2}
. Следовательно, все эти отрезки параллельны.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XX, финал, первый день, 8 класс, задача 1