16644. Вершины M
, N
и K
прямоугольника KLMN
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
и CA
правильного треугольника ABC
, причём AM=2
и KC=1
, а вершина L
лежит вне треугольника. Найдите угол KMN
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Возьмём на стороне BC
точку N'
, для которой CN'=2
. Тогда, что MN'\parallel AC
. Кроме того, поскольку CN'=2CK
и \angle N'CK=60^{\circ}
, треугольник CKN'
прямоугольный (см. задачу 2643), поэтому
\angle MN'K=\angle MNK=90^{\circ}.
При этом точка N
отлична от N'
, поскольку в противном случае точка L
лежала бы на стороне AC
. Точки N
и N'
лежат на окружности с диаметром MK
, так как из них отрезок MK
виден под прямым углом. Значит,
\angle MKN=\angle MN'N=60^{\circ}.
Следовательно, \angle KMN=30^{\circ}
.
Автор: Евдокимов М. А.
Автор: Казицина Т. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XX, финал, второй день, 8 класс, задача 5