1665. Теорема Карно. Некоторая прямая пересекает стороны A_{1}A_{2}
, A_{2}A_{3}
, \ldots
, A_{n}A_{1}
(или их продолжения) многоугольника A_{1}A_{2}\ldots A_{n}
в точках M_{1}
, M_{2}
, \ldots
, M_{n}
соответственно. Докажите, что
\frac{A_{1}M_{1}}{M_{1}A_{2}}\cdot\frac{A_{2}M_{2}}{M_{2}A_{3}}\cdot\ldots\cdot\frac{A_{n}M_{n}}{M_{n}A_{1}}=1.
Указание. Спроектируйте вершины многоугольника на произвольную прямую параллельно данной прямой и примените теорему о пропорциональных отрезках.
Решение. Проведём прямую l
, пересекающую данную прямую в точке N
. Пусть прямые, проведённые через вершины A_{1}
, A_{2}
, \ldots
, A_{n}
данного многоугольника, пересекают прямую l
в точках B_{1}
, B_{2}
, \ldots
, B_{n}
соответственно. Тогда
\frac{A_{1}M_{1}}{M_{1}A_{2}}=\frac{B_{1}N}{NB_{2}},~\frac{A_{2}M_{2}}{M_{2}A_{3}}=\frac{B_{2}N}{NB_{3}},~\ldots,\frac{A_{n}M_{n}}{M_{n}A_{1}}=\frac{B_{n}N}{NB_{1}}.
Перемножив почленно эти n
равенств, получим, что
\frac{A_{1}M_{1}}{M_{1}A_{2}}\cdot\frac{A_{2}M_{2}}{M_{2}A_{3}}\cdot\ldots\cdot\frac{A_{n}M_{n}}{M_{n}A_{1}}=\frac{B_{1}N}{NB_{2}}\cdot\frac{B_{2}N}{NB_{3}}\cdot\ldots\cdot\frac{B_{n}N}{NB_{1}}=1.