16651. На сторонах AB
, BC
, CA
равностороннего треугольника ABC
выбраны точки K
, L
и M
, причём AK=1
, BL=2
и CM=3
. Известно, что \angle MKL=60^{\circ}
. Найдите сторону треугольника ABC
.
Ответ. 5.
Решение. Обозначим \angle BLK=\theta
. Проведём в треугольнике BKL
среднюю линию PQ
, параллельную KL
(точка P
на отрезке BK
). Тогда
\angle BQP=\angle BLK=\theta=180^{\circ}-60^{\circ}-\angle BKL=180^{\circ}-\angle MKL-\angle BKL=\angle AKM.
Кроме того,
BQ=\frac{1}{2}BL=AK~\mbox{и}~\angle KAM=60^{\circ}=\angle ABP.
Следовательно, треугольники AKM
и BQP
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Положим BP=AM=x
. Тогда
1+2x=AK+KB=AB=AC=AM+MC=x+3,
откуда x=2
и AC=x+3=5
.
Примечание. Используя подобие, можно обойтись без средней линии, сразу получив уравнение 1+2x=x+3
из подобия треугольников AKM
и BLK
по двум углам (с коэффициентом \frac{BL}{AK}=2
).
Автор: Богданов И. И.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2023-24, XVI, региональный этап, первый день, задача 3