16652. Внутри треугольника ABC
выбрана точка K
, для которой \angle KCB+\angle ACB=\angle KBC+\angle ABC=120^{\circ}
. На продолжении стороны AB
за точку B
выбрана точка P
, а на продолжении стороны AC
за точку C
— точка Q
, причём BK=BP
и CK=CQ
. Докажите, что BQ=CP
.
Решение. Пусть точка M
симметрична точке K
относительно прямой BC
. Тогда
\angle MBP=180^{\circ}-(\angle MBC+\angle ABC)=180^{\circ}-(\angle KBC+\angle ABC)=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Поскольку BM=BK=BP
, треугольник PBM
равносторонний. Аналогично доказывается, что треугольник QCM
тоже равносторонний. Значит, PM=BM
и CM=QM
. Кроме того,
\angle PMC=\angle BMC+60^{\circ}=\angle BMQ.
Таким образом, треугольники PMC
и BMQ
равны по двум сторонам и углу между ними, а отрезки BQ
и CP
равны как их соответственные стороны.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2023-24, XVI, региональный этап, второй день, задача 9