16654. На стороне AC
треугольника ABC
выбрана точка E
. Биссектриса AL
пересекает отрезок BE
в точке X
. Оказалось, что AX=XE
и AL=BX
. Чему равно отношение углов A
и B
треугольника?
Ответ. 2.
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку E
параллельно AL
, пересекает прямые BC
и BA
в точках P
и Q
соответственно. Из подобия треугольников ABL
и QBP
получаем
\frac{PQ}{AL}=\frac{BE}{BX}=\frac{BE}{AL}~\Rightarrow~PQ=BE.
Из параллельности прямых AL
и PQ
получаем
\angle AQE=\angle BAX=\angle XAE=\angle AEQ~\Rightarrow~AE=AQ.
Кроме того, из равенства AX=XE
следует, что
\angle AEB=\angle AEX=\angle XAE~\Rightarrow~\angle AEB=\angle AQE.
Таким образом, треугольники AQP
и AEB
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AP=AB
, а так как PAQ
— внешний угол равнобедренного треугольника ABP
с основанием BP
, то
\angle BAC=\angle BAE=\angle PAQ=2\angle PBA=2\angle CBA.
Следовательно, \frac{\angle BAC}{\angle CBA}=2
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2022-23, XV, 13 февраля 2023, региональный этап, первый день, задача 4