16655. Внутри параллелограмма ABCD
отмечена точка E
, лежащая на биссектрисе угла A
, и точка F
, лежащая на биссектрисе угла C
. Известно, что середина отрезка BF
лежит на отрезке AE
. Докажите, что середина отрезка DE
лежит на прямой CF
.
Решение. Пусть \angle BAD=\angle BCD=2\alpha
, а биссектриса AE
пересекает прямую BC
в точке K
. Тогда
\angle BAK=\angle KAD=\alpha=\angle FCB.
Значит, биссектрисы углов A
и C
параллельны.
Пусть O
— середина отрезка BF
. Поскольку по условию она лежит на AE
, а AE\parallel CF
, то OK
— средняя линия треугольника BFC
, поэтому BK=\frac{1}{2}BC
.
Обозначим через M
точку пересечения биссектрисы CF
и прямой AD
. Заметим, что треугольники ABK
и CDM
равны, так как
AB=CD,~\angle MCD=\angle KAB=\alpha,~\angle ABK=\angle CDM=180^{\circ}-2\alpha.
Значит,
MD=BK=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD.
Следовательно, средняя линия треугольника DAO
лежит на прямой CF
. Отсюда вытекает утверждение задачи.
Примечание. Параллельность биссектрис углов A
и C
и равенство треугольников ABK
и CDM
можно сразу вывести из симметричности параллелограмма ABCD
относительно его центра.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2022-23, XV, 14 февраля 2023, региональный этап, второй день, задача 7