16657. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором AB=BC=CD=4
. На сторонах AB
и CD
выбраны соответственно точки K
и L
, для которых AK=DL=1
. На стороне AD
вне четырёхугольника построен треугольник AMD
, в котором AM=MD=2
. Оказалось, что KL=2
. Докажите, что BM=CM
.
Решение. Первый способ. Заметим, что треугольник MDL
подобен треугольнику CDM
с коэффициентом 2 (CD=2MD
, DM=2DL
, угол при вершине D
— общий), поэтому MC=2ML
. Аналогично, MB=2MK
. Поэтому треугольник MLK
подобен треугольнику MCB
, так как
\frac{ML}{MC}=\frac{MK}{MB}=\frac{KL}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Следовательно, \angle LMK=\angle BMC
и потому
\angle LMC=\angle LMK-\angle CMK=\angle BMC-\angle CMK=\angle KMB.
Значит, треугольник LMC
подобен треугольнику BMK
, а так как LC=BK
, то эти треугольники равны. Следовательно, BM=CM
. Что требовалось доказать.
Второй способ. Докажем, что MC=2ML
. Пусть T
— точка на луче ML
, для которой MT=2ML
, и пусть S
— середина CD
. Тогда MSTD
— параллелограмм, так как его диагонали MT
и DS
делятся точкой L
пополам. Заметим, что MD=DS=2
, поэтому треугольник MDS
равнобедренный, \angle SMD=\angle MSD
. Значит,
\angle MST=180^{\circ}-\angle SMD=180^{\circ}-\angle MSD=\angle MSC.
Значит, треугольники MST
и MSC
равны по двум сторонам (ST=MD=SC=2
, сторона MS
— общая) и углу между ними. Поэтому MC=MT=2ML
. Аналогично, MB=2MK
. Значит, стороны треугольника MKL
соответственно равны половинам сторон треугольника MBC
(KL=2=\frac{1}{2}BC
по условию), и треугольник MKL
равен треугольнику с вершинами в точке M
и серединах отрезков MB
и MC
. Отсюда \angle LMK=\angle BMC
. Далее см. первый способ.
Автор: Французов Ц. В.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2022-23, XV, 27-30 марта 2023, третий заключительный этап, второй день, задача 7