16658. Докажите, что среди вершин любого выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.
Решение. Пусть наш девятиугольник — это A_{1}A_{2}\dots A_{9}
. Рассмотрим четырёхугольник A_{2}A_{4}A_{6}A_{8}
. Сумма его углов равна 360^{\circ}
. Если один из его углов тупой, то мы нашли нужный треугольник (например, если \angle A_{8}A_{2}A_{4}\gt90^{\circ}
, то треугольник A_{8}A_{2}A_{4}
— искомый тупоугольный).
Если нужный тупоугольный треугольник ещё не найден, то в четырёхугольнике A_{2}A_{4}A_{6}A_{8}
все углы по 90^{\circ}
(т. е. A_{2}A_{4}A_{6}A_{8}
— прямоугольник). Тогда
\angle A_{6}A_{8}A_{1}\gt\angle A_{6}A_{8}A_{2}=90^{\circ}.
Следовательно, A_{6}A_{8}A_{1}
— нужный нам тупоугольный треугольник. Таким образом, задача решена.
Примечание. Другое решение можно получить, рассматривая девятизвенную замкнутую ломаную A_{1}A_{3}A_{5}A_{7}A_{9}A_{2}A_{2}A_{4}A_{6}A_{8}A_{1}
, соединяющую вершины девятиугольника через одну (см. рис.). Можно показать, что сумма углов такой ломаной равна 5\cdot180^{\circ}
(это известная задача). Но тогда угол между какими-то двумя соседними звеньями этой ломаной не меньше \frac{5\cdot180^{\circ}}{9}
, а следовательно, этот угол задаёт нужный нам тупоугольный треугольник.
Автор: Юран А. Ю.
Источник: Журнал «Квант». — 2024, № 4, M2790, с. 14; № 7, M2790, с. 20
Источник: Задачник «Кванта». — M2790