1666. Продолжения двух противоположных сторон AB
и CD
четырёхугольника ABCD
пересекаются под углом \alpha
, продолжения двух других противоположных сторон пересекаются под тем же углом. Докажите, что два угла в четырёхугольнике равны, и найдите разность двух других его углов.
Ответ. 2\alpha
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о внешнем угле треугольника.
Решение. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке M
, а прямые AD
и BC
— в точке N
, как показано на рисунке. Тогда внешние углы BAD
и BCD
треугольников ANB
и CMB
равны, так как два угла каждого из этих треугольников соответственно равны двум углам другого. Далее:
\angle ABC=\angle BCM+\alpha=(\angle ADC+\angle DNC)+\alpha=\angle ADC+\alpha+\alpha=\angle ADC+2\alpha.
Аналогично для остальных случаев.