1667. На продолжениях гипотенузы AB
прямоугольного треугольника ABC
за точки A
и B
соответственно взяты точки K
и M
, причём AK=AC
и BM=BC
. Найдите угол MCK
.
Ответ. 135^{\circ}
.
Указание. CAB
и CBA
— внешние углы равнобедренных треугольников CAK
и CBM
.
Решение. CAB
и CBA
— внешние углы равнобедренных треугольников CAK
и CBM
. Обозначим \angle CAB=\alpha
, \angle CBA=\beta
. Тогда \angle CKM=\frac{\alpha}{2}
и \angle CMK=\frac{\beta}{2}
. Следовательно,
\angle MCK=180^{\circ}-\angle CKM-\angle CMK=180^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}=
=180^{\circ}-\frac{90^{\circ}}{2}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}.