16675. На диагоналях выпуклого четырёхугольника ABCD
построены правильные треугольники ACB'
и BDC'
, причём точки B
и B'
лежат по одну сторону от прямой AC
, а точки C
и C'
— по одну сторону от прямой BD
. Найдите \angle BAD+\angle CDA
, если известно, что B'C'=AB+CD
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. Построим вне данного четырёхугольника равносторонний треугольник BCF
. Тогда
\angle FBC=60^{\circ}=\angle C'BD~\Rightarrow~\angle FBC'=60^{\circ}-\angle CBC'=\angle CBD,
а так как BF=BC
и BC'=BD
, то треугольники BFC'
и BCD
равны по двум сторонами и углу между ними. Значит, FC'=CD
и \angle BFC'=\angle BCD
. Аналогично, B'F=AB
и \angle B'FC=\angle ABC
.
Из равенства
B'C'=AB+CD=B'F+FC'
получаем, что точка F
лежит на отрезке B'C'
. Тогда
\angle B'FC+\angle BFC'=180^{\circ}+\angle BFC=180^{\circ}+60^{\circ}=240^{\circ},
поэтому
\angle BCD+\angle ABC=\angle BFC'\angle B'FC=240^{\circ}.
Следовательно,
\angle BAD+\angle CDA=360^{\circ}-(\angle BCD+\angle ABC)=360^{\circ}-240^{\circ}=120^{\circ}.
Источник: Международная Жаутыковская олимпиада (Казахстан). — 2012, VIII, второй день, задача 5