16677. Во вписанном четырёхугольнике ABCD
стороны AB
и AD
равны. На сторонах BC
и CD
отмечены точки M
и N
соответственно, причём MN=BN+DM
. Прямые AM
и AN
вторично пересекают описанную окружность четырёхугольника ABCD
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что точка пересечения высот треугольника APQ
лежит на отрезке MN
.
Решение. На продолжении отрезка MD
отложим отрезок DK=NB
. Четырёхугольник ABCD
вписанный, поэтому
\angle KDA=180^{\circ}-\angle ADC=\angle ABN.
а так как DA=AB
и DK=NB
, то треугольники KDA
и NMA
равны по двум сторонами и углу между ними. Следовательно,
KA=AN~\mbox{и}~=MK=MD+DK=MD+NB=MN.
Значит, треугольники KMA
и NMA
равны по трём сторонам. Тогда \angle DMA=\angle NMA
. Аналогично, \angle MNA=\angle BNA
.
На отрезке MN
отметим точку H
, для которой MH=MD
. Тогда NH=BN
. Поскольку \angle DMA=\angle HMA
и MD=MH
, точки D
и H
симметричны относительно прямой AP
. Аналогично, точки B
и H
симметричны относительно прямой AQ
. Значит,
\angle DAB=\angle DAH+\angle BAH=2\angle MAH+2\angle NAH=2(\angle MAH+\angle NAH)=2\angle MAN.
Тогда
\angle BPA=\angle HPA=\angle DPA=\angle ABD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAD)=90^{\circ}-\angle MAN,
поэтому PH\perp AQ
. Аналогично докажем, что QH\perp AP
. Следовательно, точка H
, лежащая на отрезке MN
, — ортоцентр треугольника APQ
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Международная Жаутыковская олимпиада (Казахстан). — 2010, VI, первый день, задача 2