1668. В прямоугольном треугольнике ABC
на гипотенузе AB
взяты точки K
и M
, причём AK=AC
и BM=BC
. Найдите угол MCK
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
. Поскольку AKC
— угол при основании равнобедренного треугольника CAK
, то
\angle CKA=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle CAK=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Аналогично находим, что
\angle CMB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle CBM=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
Поэтому
\angle CKA+\angle CMB=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}+90^{\circ}-\frac{\beta}{2}=180^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}=
=180^{\circ}-\frac{90^{\circ}}{2}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}.
Следовательно,
\angle MCK=180^{\circ}-(\angle CKA+\angle CMB)=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}.