16681. Пять равносторонних треугольников расположены так, как показано на рисунке. Три больших треугольника равны между собой и два маленьких тоже равны между собой. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. \angle A=60^{\circ}
, \angle B=30^{\circ}
, \angle C=90^{\circ}
.
Решение. Добавим на рисунок ещё два маленьких треугольника. Отрезки AM
и BI
равны и параллельны, поэтому AIBM
— параллелограмм. Тогда середина L
диагонали IM
— его центр.
При повороте на 60^{\circ}
против часовой стрелки вокруг точки A
треугольник AML
переходит в треугольник AKC
, так как центр A
поворота остаётся на месте, точка M
переходит в K
, луч KM
— в луч KC
, так как \angle MKC=120^{\circ}
, а точка M
— в точку M'
луча KC
, для которой KM'=KM
, а тогда середина L
отрезка IM
— в середину отрезка KM'
; при этом, поскольку KM=DK
,
то все четыре маленьких треугольника равны. Значит, середина отрезка M'
— это точка C
, т. е. точка I
переходит в C
.
В треугольнике ABC
сторона AC
вдвое меньше стороны AB
, а угол между этими сторонами равен 60^{\circ}
. Значит, треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
(см. задачу 2643). Тогда угол при вершине B
этого треугольника равен 30^{\circ}
.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Турнир городов. — 2023-2024, XLV, весенний тур, базовый вариант, 8-9 классы, задача 3
Источник: Журнал «Квант». — 2024, № 4, с. 52, задача 3, с. № 5-6, с. 52, задача 3