16682. Произвольный прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники так, как показано на рисунке. В каждый треугольник вписан квадрат со стороной, лежащей на гипотенузе. Что больше: площадь самого большого квадрата или сумма площадей трёх остальных квадратов?
Ответ. Они равны.
Решение. Заметим сначала, что квадрат со стороной на гипотенузе AB
вписывается в прямоугольный треугольник ABC
однозначно. (Например, если есть два таких квадрата, то гомотетия с центром C
переводит один из них в другой, оставляя при этом гипотенузу AB
на месте; значит, коэффициент гомотетии равен 1.)
Далее заметим, что все прямоугольные треугольники в задаче подобны, поэтому вписанные в них квадраты занимают в них одинаковую долю площади. Следовательно, сумма площадей малых квадратов равна площади большого, так как это верно для содержащих их треугольников.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Турнир городов. — 2023-2024, XLV, весенний тур, базовый вариант, 10-11 классы, задача 2
Источник: Журнал «Квант». — 2024, № 4, задача 2, с. 31; № 6-6, с. 55, задача 2