16683. Даны две равные окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
(см. рис.). На отрезке O_{1}O_{2}
взяты точки X
и Y
, причём O_{1}X=O_{2}Y
. Точки A
и B
лежат на \omega_{1}
, и прямая AB
проходит через точку X
. Точки C
и D
лежат на \omega_{2}
, и прямая CD
проходит через точку Y
. Докажите, что существует окружность, касающаяся прямых AO_{1}
, BO_{1}
, CO_{2}
и DO_{2}
.
Решение. Пусть биссектриса угла, смежного с углом AO_{1}B
, и биссектриса угла, смежного с углом DO_{2}C
, пересекаются в точке S
, а прямые BO_{1}
и DO_{2}
пересекаются в точке T
. Поскольку TO_{1}S
и TO_{2}S
— внешние углы равнобедренных треугольников AO_{1}B
и CO_{2}
, то
\angle TO_{1}S=\frac{1}{2}\angle TO_{1}A=\angle O_{1}BA.
Значит, O_{1}S\parallel BX
. Аналогично, O_{2}S\parallel DY
.
Заметим, что из полученной параллельности, а также из равенства O_{1}X=O_{2}Y
следует, что
S_{\triangle O_{1}AS}=S_{\triangle O_{1}XS}=S_{\triangle O_{2}YS}=S_{\triangle O_{1}CS}.
Тогда у равновеликих треугольников O_{1}AS
и O_{1}CS
с равными сторонами O_{1}
и O_{2}C
равны высоты, опущенные из общей вершины S
. Значит, точка S
равноудалена от прямых AO_{1}
и CO_{2}
. Кроме того, поскольку точка S
лежит на биссектрисах углов AO_{1}T
и CO_{2}T
, она равноудалена от прямых AO_{1}
, TO_{1}
и прямых CO_{2}
, TO_{2}
. Таким образом, точка S
равноудалена от всех четырёх прямых AO_{1}
, TO_{1}
, CO_{2}
и TO_{2}
. Следовательно, S
— центр окружности, касающейся этих прямых. Что и требовалось доказать.
Автор: Кухарчук И. А.
Автор: Соколов А. А.
Источник: Турнир городов. — 2023-2024, XLV, весенний тур, сложный вариант, 10-11 классы, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 2024, № 4, с. 34, задача 4; № 5-6, с. 56 задача 4;