16685. Пусть I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
. На продолжении AI
за точку I
и на продолжении AB
за точку B
выбраны соответственно точки N
и M
так, что BCNM
— параллелограмм. Аналогично, на продолжении CI
за точку I
и на продолжении CB
за точку B
выбраны соответственно точки K
и L
так, что BAKL
— параллелограмм. Докажите, что прямые BI
и LM
перпендикулярны.
Решение. Поскольку AI
—биссектриса, углы BAN
и CAN
равны. В силу параллельности прямых CN
и AB
равны углы BAN
и ANC
. Значит, треугольник ACN
, равнобедренный, и в нём AC=CN
, откуда BM=AC
. Аналогично, BL=AC
, поэтому BM=BL
. Но углы LBM
и ABC
вертикальные, поэтому прямая BI
будет также биссектрисой в равнобедренном треугольнике LBM
, а значит, его высотой. Следовательно, BI\perp LM
. Что и требовалось доказать.
Автор: Агаханов Н. Х.
Источник: Журнал «Квант». — 2024, № 2, с. 28, задача 3; № 3, с. 61, задача 3