16689. Пятиугольник ABCDE
вписан в окружность. Известно, что AB=CD=3
и BC=DE=4
.
а) Докажите, что AC=CE
.
б) Найдите длину диагонали BE
, если AD=6
.
Ответ. \frac{17}{3}
.
Решение. а) В четырёхугольнике ABCD
острые углы ACB
и CAD
опираются на равные хорды AB
и CD
, поэтому \angle ACB=\angle CAD
, а значит, прямые BC
и AD
параллельны. Аналогично, прямые CD
и BE
параллельны. Тогда четырёхугольники ABCD
и BCDE
— равнобедренные трапеции. Следовательно,
AC=BD=CE.
б) Обозначим точку пересечения диагоналей AD
и BE
через M
. Четырёхугольник BCDM
— параллелограмм, поскольку его противоположные стороны попарно параллельны. Значит,
BM=CD=AB=3,~\mbox{и}~DM=BC=DE=4,
поэтому треугольники ABM
и MDE
равнобедренные, причём
\angle BAM=\angle AMB=\angle DME=\angle DEM.
Тогда эти треугольники подобны с коэффициентом \frac{DE}{AB}=\frac{4}{3}
, поэтому
ME=\frac{DE}{AB}\cdot AM=\frac{DE}{AB}\cdot(AD-DM)=\frac{4}{3}(6-4)=\frac{8}{3}.
Следовательно,
BE=BM+ME=3+\frac{8}{3}=\frac{17}{3}.
Источник: ЕГЭ. — 2024, досрочный экзамен, профильный уровень, задача 17