1669. На одной из сторон острого угла лежит точка A
. Постройте на этой же стороне угла точку, равноудалённую от второй стороны угла и от точки A
.
Решение. Пусть O
— вершина данного острого угла. Опустим перпендикуляр AH
из точки A
на вторую сторону угла и проведём биссектрису AC
угла OAH
(C
— точка пересечения этой биссектрисы со второй стороной данного угла). Затем восставим перпендикуляр из точки C
к прямой OH
до пересечения в точке B
с лучом OA
. Докажем, что точка B
— искомая.
Действительно, прямые AH
и BC
параллельны, поэтому
\angle BCA=\angle HAC=\angle BAC.
Значит треугольник ABC
— равнобедренный. Следовательно, AB=BC
, а по построению BC\perp OH
.
Второе решение получается, если провести биссектрису угла, смежного с углом OAH
. Таким образом, задача всегда имеет два решения.