16691. Точка O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Прямая BO
вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке P
.
а) Докажите, что \angle POA=\angle PAO
.
б) Найдите площадь треугольника APC
, если известно, что радиус его описанной окружности равен 8, а \angle ABC=60^{\circ}
.
Ответ. 16\sqrt{3}
.
Решение. а) Поскольку O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, лучи AO
и BO
— биссектрисы углов BAC
и ABC
соответственно. Обозначим \angle BAO=\alpha
и \angle ABO=\beta
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AOP=\angle BAO+\angle ABO=\alpha+\beta.
С другой стороны, вписанные углы CBP
и CAP
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CAP=\angle CBP=\beta.
Значит,
\angle PAO=\angle CAO+\angle CAP=\angle CAP=\alpha+\beta=\angle POA.
Что и требовалось доказать.
б) Из вписанного четырёхугольника ABCP
получаем, что
\angle APC=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ},
а так как BP
— биссектриса угла ABC
, то
\angle ABP=\angle CBP=30^{\circ}.
Заметим, что AP=PC
как хорды, не которые опираются равные вписанные углы. Обозначим через R
радиус описанной окружности треугольника ABC
. Описанная окружность треугольника APC
— это описанная окружность треугольника ABC
, поэтому по теореме синусов
PC=AP=2R\sin\angle ACP=2R\sin\angle ABP=2R\sin30^{\circ}=2\cdot8\cdot\frac{1}{2}=8.
Следовательно,
S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}AP\cdot PC\sin\angle APC=\frac{1}{2}\cdot PC^{2}\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot8^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}.
Источник: ЕГЭ. — 2024, досрочный экзамен, профильный уровень, задача 17